【综合论文】期末大作业 返回首页

作者：欧新宇（Xinyu OU）
当前版本：Release v1.0
开发平台：Python3.11
运行环境：Intel Core i7-7700K CPU 4.2GHz, nVidia GeForce GTX 1080 Ti
本教案为非完整版教案，请结合课程PPT使用。

最后更新：2024年4月11日

---

【考核要求】

一、 提交要求

1. 提交内容应包含完整的论文和源代码
2. 程序应能够正确运行，并实现相应的功能，编程语言首选Python
3. 提交时间严格按照规定的时间节点，不得迟交
4. 期末大作业以小组为单位完成并进行提交，每个小组3位同学
5. 少数期末选题和期中选题有一定的相似性，但题目难度和内容有所不同，并且期末选题有一定难度，请同学们根据自己的兴趣和能力选择题目并尽力完成。

二、 格式要求

1. 论文格式应符合学术规范，包括字体、字号、行距、页边距等
2. 公式应使用规范的公式编辑器进行编辑，编号清晰
3. 论文内容应逻辑清晰，图表应清晰美观，编号和命名规范
4. 参考文献应列出论文中引用的所有文献，格式符合学术规范
5. 写作要求及模板（可下载）：[.pdf]、[.docx]

三、建模过程及论文撰写要求

1. 论文撰写原则上应包含数学建模过程中的所有步骤，包括但不限于：摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号定义与说明、模型建立、模型求解、模型分析与评价、结论与建议、参考文献。
2. 为避免作业重复及下载，请大家使用 https://www.paperyy.com/ 进行查重，并将查重结果页附在论文背后。该网站提供免费查重服务，注册登录后选择免费查重，并取消所有附加服务。文章提交后，稍等几分钟即可生成报告，报告页面的右上角有下载按钮，下载报告即可。

四、评分标准

1. 论文写作（50分）：，重点考察论文的规范性（包括论文的字体、字号、行距等是否符合学术规范）、论文结构的完整性及内容的逻辑性。
2. 算法合理性（40分）：，重点考查对给定问题的分析和理解是否充分与合理、数据预处理以及数学模型的选择和构造是否与问题适配度较高。
3. 创新型及写作水平（10分）：重点考查论文模型的创新性以及论文对问题的理解和分析能力水平，特别是论文写作的逻辑性。。
4. 答辩加分（5~10分）：任何学生都可以申请期末路演答辩，时间控制在（5-10分钟）。
5. 难度系数（0.9~1.05）：根据题目的难易程度设定选题的惩罚和奖励系数。
6. 最终得分 = 难度系数 × (写作 × 0.5 + 算法 × 0.4 + 创新 × 0.1) + 答辩加分
7. 注意：不提供查重报告卷面分最高为：60分。

五、 提交时间

请在2024年6月30日以前以班为单位进行提交，特殊情况延迟不晚于7月7日。

六、路演预约

1. 请准备参加期末大作业路演的同学点击下列链接进行预约。预约地址：http://shiorioxy.mikecrm.com/Zb1gM2f
2. 路演时间计划安排在考试周，若有改动后续再另行通知，每位参加路演同学准备5-10分钟的PPT进行报告
3. 预约报名时间为6月16日以前，且为自愿参加，其他同学原则上应参加现场学习。

【期末选题】

每位同学可以从以下题目中选择任意一个题目完成论文撰写。

1. 黄河水沙监测数据分析（难度系数1.05）

黄河是中华民族的母亲河。研究黄河水沙通量的变化规律对沿黄流域的环境治理、气候变化和人民生活的影响，以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾等方面都具有重要的理论指导意义。【附件1】给出了位于小浪底水库下游黄河某水文站近 6 年的水位、水流量与含沙量的实际监测数据，【附件2】 给出了该水文站近 6 年黄河断面的测量数据，【附件3】给出了该水文站部分监测点的相关数据。

要求建立数学模型研究以下问题：

1). 该水文站黄河水的含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近 6 年该水文站的年总水流量和年总排沙量。
2). 分析近 6 年该水文站水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性，研究水沙通量的变化规律。
3). 根据该水文站的水沙通量和河底高程的变化情况，分析每年 6-7 月小浪底水库进行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”，10 年以后该水文站的河底高程会如何？

【附件1】2016-2021 年黄河水沙监测数据
【附件2】黄河断面的测量数据
【附件1】黄河部分监测点的监测数据

2. 投资的收益和风险（难度系数1.05）

市场上有 $n$ 种资产（如股票、债券、……） $s_i (i=1,2,...,n)$ 供投资者选择，某公司有数额为 $M$ 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 $n$ 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产 $s_i$ 的平均收益率为 $r_i$，并预测出购买 $s_i$ 的风险损失率为 $q_i$。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来度量。购买 $s_i$ 要付交易费，费率为 $p_i$，并且当购买额不超过给定值 $u_i$ 时，交易费按购买 $u_i$ 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是 $r_0 (r_0 = 5\%)$ ，且既无交易费又无风险。

要求： 利用数据文件（15种资产的相关情况），为该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 $M$，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

3. 钢管下料问题（难度系数0.95）

某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9米、2.1米和1米的圆钢各1根。已知原料长6.9米。试建立数学模型求解如下问题：
1). 应如何切割圆钢，才能使任务完成时的原材料最省？
2). 若要求下料方式不超过3种，应如何下料才能使原材料最省？

4. 乳腺肿瘤良恶性鉴别（难度系数1.0）

已知8个乳腺肿瘤病灶组织的样本如下表所示，其中前3个位良性肿瘤，后5个为恶性肿瘤。数据为细胞核显微图像的5个量化特征：细胞直径、质地、周长、面积和光滑度。

要求： 根据已知样本对未知的3个样本进行距离判别、Fisher判别和神经网络（MLP）判别，并计算每种模型的回代误判率与5折交叉验证误判率。

表4 乳腺肿瘤病灶组织样本信息表

序号	细胞核直径	质地	周长	面积	光滑度	类型
1	13.54	14.36	87.46	566.3	0.09779	良性
2	13.08	15.71	85.63	520	0.1075	良性
3	9.504	12.44	60.34	273.9	0.1024	良性
4	17.99	10.38	122.8	1001	0.1184	恶性
5	20.57	17.77	132.9	1326	0.08474	恶性
6	16.69	21.25	130	1206	0.1096	恶性
7	11.42	20.38	77.58	386.1	0.1425	恶性
8	20.29	14.34	135.1	1297	0.1003	恶性
9	16.6	28.08	108.3	858.1	0.08455	待定
10	20.6	29.33	140.1	1265	0.1178	待定
11	7.76	24.54	47.92	181	0.05263	待定

5. 中国人口增长预测（难度系数1.05）

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附录1 ：《国家人口发展战略研究报告》
附录2 ：人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据） 及 数据格式说明

6. 三体问题（难度系数1.05）

三体问题是关于三个恒星系天体相互作用的数学模型，最早由艾萨克·牛顿在300多年前提出。近年来，中国作家刘慈欣所著的科幻小说《三体》让该问题成为一个众所周知的热门话题。

如上图所示，假设存在一个动量始终稳定且守恒的三体宇宙系统，在该宇宙系统中存在一颗固定不动的行星（稳定的质心），该行星不会受到外力影响而发生位置改变，并且相对恒星来说，它的质量可以忽略不计。在这个三体宇宙系统中存在三颗恒星 $s_1,s_2, s_3$，它们的质量分别是 $m_1,m_2,m_3$，其中第一颗恒星的初始位置为 $[x_1, y_1, z_1]$。假设 该系统中只存在恒星间相互的万有引力，请根据牛顿第二定律、动量守恒定律及万有引力定律为该宇宙系统建立一个数学模型，

要求：

1. 给出三颗恒星的运行轨迹。
2. 为三体世界给出一个恒纪元和乱纪元的万年历。
3. 有兴趣的同学可以进一步研究该三体问题，例如不忽略行星的质量时的星体运行轨迹。