【综合论文】期中大作业返回首页

作者：欧新宇（Xinyu OU）
当前版本：Release v1.0
开发平台：Python3.11
运行环境：Intel Core i7-7700K CPU 4.2GHz, nVidia GeForce GTX 1080 Ti
本教案为非完整版教案，请结合课程PPT使用。

最后更新：2024年4月11日

【考核要求】

一、提交要求

提交内容应包含完整的论文和源代码
程序应能够正确运行，并实现相应的功能，编程语言首选Python
提交时间严格按照规定的时间节点，不得迟交
期中大作业要求每位同学独立完成

二、格式要求

论文格式应符合学术规范，包括字体、字号、行距、页边距等
公式应使用规范的公式编辑器进行编辑，编号清晰
论文内容应逻辑清晰，图表应清晰美观，编号和命名规范
参考文献应列出论文中引用的所有文献，格式符合学术规范
写作要求及模板（可下载）：[.pdf]、[.docx]

三、建模过程及论文撰写要求

Note

论文撰写原则上应包含数学建模过程中的所有步骤，包括但不限于：摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号定义与说明、模型建立、模型求解、模型分析与评价、结论与建议、参考文献。

四、评分标准

论文写作（40分）：，重点考察论文的规范性（包括论文的字体、字号、行距等是否符合学术规范）、论文结构的完整性及内容的逻辑性。
算法合理性（40分）：，重点考查对给定问题的分析和理解是否充分与合理、数据预处理以及数学模型的选择和构造是否与问题适配度较高。
程序运行（10分）：重点考察程序的可执行性，特别是程序是否能较好反应数学模型的求解过程。
创新型及写作水平（10分）：重点考查论文模型的创新性以及论文对问题的理解和分析能力水平，特别是论文写作的逻辑性。。
答辩加分（3~5分）：任何学生都可以申请在教学过程中对自己的作品进行路演答辩，时间控制在（5-10分钟），每次课最多允许2位同学进行路演答辩。
难度系数（0.9~1.05）：根据题目的难易程度设定选题的惩罚和奖励系数。
最终得分 = 难度系数 × (写作 × 0.4 + 算法 × 0.4 + 程序 × 0.1 + 创新 × 0.1) + 答辩加分

五、提交时间

请在2024年5月19日以前以班为单位进行提交。

六、路演预约

请准备参加期中大作业路演的同学点击下列链接进行预约。预约地址：http://shiorioxy.mikecrm.com/FrqgIq2
路演时间安排在5月20日~6月26日期间的正常教学课堂，每位同学准备5-10分钟的PPT进行报告
预约报名时间为5月19日以前，每个时间段最多允许2位同学报名止，各班报名互不影响。

【期中选题】

每位同学可以从以下题目中选择任意一个题目完成论文撰写。

1. 黄河水沙监测数据分析（难度系数1.05）

黄河是中华民族的母亲河。研究黄河水沙通量的变化规律对沿黄流域的环境治理、气候变化和人民生活的影响，以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾等方面都具有重要的理论指导意义。【附件1】给出了位于小浪底水库下游黄河某水文站近 6 年的水位、水流量与含沙量的实际监测数据。请建立数学模型研究该水文站黄河水的含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近 6 年该水文站的年总水流量和年总排沙量。

【附件1】 2016-2021 年黄河水沙监测数据

2. 药物中毒急救（难度系数1.0）

一天夜晚，你作为见习医生正在医院内科急诊室值班，两位家长带着一个孩子急匆匆进来，诉说两个小时前，孩子一口气误吞下了11片治疗哮喘病的、剂量为每片100mg的氨茶碱片，已经出现呕吐、头晕等不良症状。按照药瓶使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 $100 \sim 200 mg$ ，儿童是 $3 \sim 5 mg/ kg$ 。如果服用过量，可使血药浓度（单位血液容积中的药量）过高；当血药浓度达到 $100 \mu g/ml$ 时，会出现严重中毒，达到 $200 \mu g/ml$ 则会致命。作为一名医生，你清楚地知道，由于孩子服药是在两小时前，现在药物已经从胃进入肠道，无法再用刺激呕吐的办法排除。当前需要作出判断的是，孩子的血药浓度会不会达到 $100 \mu g/ml$ ，甚至是 $200 \mu g/ml$ ，如果会达到，则临床上应采取紧急方案来救治孩子。

要求：

建立药物中毒施救模型确定对于孩子（血液总量2000mL）及成人（血液总量为4000mL）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化规律并作图，并进一步分析使用体外血液透析法进行救治的科学性，并给出合理建议。

3. SARS传播模型（难度系数1.05）

2002年冬到2003年春，一种名为SARS（severe acute respiratory syndrome, 严重急性呼吸道综合症，民间俗称非典）的传染病肆虐全球。SARS首发于中国广东，迅速扩散到东南亚乃至30多个国家和地区，包括医务人员在内的多名患者死亡，引起社会恐慌、媒体关注以及各国政府和联合国、世界卫生组织的高度重视、积极应对，直至最终疫情的蔓延。突如其来的SARS及其迅猛的传播和严重的后果，成为21世纪的第一大社会热点事件。

要求：根据 北京市的疫情数据 在经典的SIR传染病模型的基础上建立你自己的传染病分析模型，对感染人群、治愈人群及死亡人群的发展趋势进行准确预测，并进一步说明怎样才真正预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难是哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。”

表1 北京市的疫情数据 数据文件：Project03_SARS的传播。

日期	已确诊病例累计	现有疑似病例	死亡累计	治愈出院累计
4月20日	339	402	18	33
4月21日	482	610	25	43
4月22日	588	666	28	46
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
6月22日	2521	2	191	2257
6月23日	2521	2	191	2277

4. 节水洗衣机（难度系数1.05）

我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的比例，目前洗衣机已经非常普及，节约洗衣机用水变得越来越重要。假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂洗-脱水-加水-漂洗-脱水……（其中“加水-漂洗-脱水”成为一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量多少等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算，并对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型做出评价。

5. 金属含铅量分析（难度系数0.9）

某种合金的含铅量比（%）为p，其熔断温度（ $^\circ$ C）为 $\theta$ ，由实验测得 $p$ 与 $\theta$ 的数据如下表所示，试用最小二乘法建立 $p$ 与 $\theta$ 之间的经验公式。

p	36.9	46.7	63.7	77.8	84.0	87.5
$\theta$	181	197	235	270	283	292

6. 管住嘴迈开腿（难度系数1.05）

您的体重正常吗？目前人们公认的测评体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数（body mass index, BMI），定义为 $BMI=\frac{h}{l^2}$ ，其中 $h$ 为体重（单位：千克）， $l$ 是身高（单位：米），显然身材矮胖者比瘦高者的BMI要大。标准身材的BMI=22，如身高 $l=1.70m$ 的人的标准体重为 $h=63.5kg$ 。按照BMI的大小，世界卫生组织和我国给出的体重指数分级标准如下表所示。

体重指数分级标准

	偏瘦	正常	超重	肥胖
世界卫生组织标准	$<18.5$	$18.5 \sim 24.9$	$25.0 \sim 29.9$	$\geq 30.0$
我国参考标准	$<18.5$	$18.5 \sim 23.9$	$24.0 \sim 27.9$	$\geq 28.0$

20世纪80年代以后，随着我国人民物质生活水平的迅速提高，越来越多自感肥胖，甚至害怕肥胖的人纷纷奔向减肥药品的柜台。可是大量事实说明，大多数减肥药品并不达到减肥的效果，或者即使成功一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和增加运动，也就是人们常说的“管住嘴、迈开腿”才能在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并试体重得以控制的目的。本节要建立一个简单的体重变化规律的数学模型，并由此通过节食与运动制定合理、有效的减肥计划。

7. 广告与销售量（难度系数0.95）

根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量 $s(t)$ 下降的速度与 $s(t)$ 成正比。广告宣传可给销量增加一个增长速度，它与广告费 $a(t)$ 成正比。但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分的销量（设饱和量为M）。设 $\lambda$ （ $\lambda >0$ 为常数）为销售量衰减因子，则根据上述假设建立如下模型：

$\frac{ds}{dt} = p a(t) (1 - \frac{s(t)}{M}) - \lambda s(t)$

其中， $p$ 为响应系数，即 $a(t)$ 对 $s(t)$ 的影响力， $p$ 为常数。已知第1年在广告支持下，各月份的销售量数据如下表所示，若第2年停掉广告，试预测第2~3年共计24个月的销售量，并给出可视化展示。

第1年各月份的销售量

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
广告费	469	781	208	208	833	677	938	2500	1865	4843	4167	948
销售量	0	218	510	1385	802	583	1152	1677	3646	2756	4083	4958