【课后作业01】初等模型 隐藏答案 | 返回首页

作者：欧新宇（Xinyu OU）
当前版本：Release v1.0
开发平台：Python3.11
运行环境：Intel Core i7-7700K CPU 4.2GHz, nVidia GeForce GTX 1080 Ti
本教案所涉及的数据集仅用于教学和交流使用，请勿用作商用。

最后更新：2024年3月2日

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【知识点】

差分方程、微分方程

【作业要求】

使用word文档或Markdown文档进行作答，使用Python编写程序，最终结果合并为一个word文档或Markdown文档，并另存为PDF格式进行提交。

注意：可以使用手机拍照文档进行提交，但请不要使用word文档直接进行提交。

【问题描述】

1. [习题2.9-P52] 求下列方程组的符号解和数值解：

$$\begin{cases} x^2 - y - x = 3 \\ x + 3y = 2\end{cases}$$

要求：使用Python进行编程求解，并适当撰写说明文字。

备注：求数值解时，只能求得一组数值解。

答案及解析：

A. 符号解：

$$\begin{cases} x_1 = \frac{1 - \sqrt{34}}{3} \\ y_1 = \frac{5 + \sqrt{34}}{9} \end{cases}, \begin{cases} x_2 = \frac{1 + \sqrt{34}}{3} \\ y_2 = \frac{5 - \sqrt{34}}{9} \end{cases}$$

Python代码如下:

import sympy

sympy.var('x,y')
equ1 = sympy.Eq(3, x**2 - y - x)
equ2 = sympy.Eq(2, x + 3 * y)

solutions = sympy.solve((equ1, equ2), (x, y))
print(solutions)

[(1/3 - sqrt(34)/3, 5/9 + sqrt(34)/9), (1/3 + sqrt(34)/3, 5/9 - sqrt(34)/9)]

B. 数值解：

（1）根据Python编程习惯，定义一个数组变量 $x$ 来表示 $x, y$，其形式为 $x = [x, y]$。

（2）将方程组转换为齐次方程组：

$$\begin{cases} x[0]^2 - x[1] - x[0] = 3 \\ x[0] + 3x[1] = 2\end{cases}$$

（3）使用Python编程求解可得（备注：求数值解时，只能求得一组数值解）：

$x_1 = -1.6103, y_1 = 1.2034$ 或 $x_2 = 2.2770, y_2 = -0.0923$

from scipy.optimize import fsolve
import numpy as np

f = lambda x:[x[0]**2 - x[1] - x[0] - 3, 
            x[0] + 3*x[1] - 2]
solutions = fsolve(f, np.random.randn(2))
print(np.round(solutions, 4))

[ 2.277 -0.0923]

2. [习题2.11-P52] 已知 $f(x) = (|x+1| - |x-1|)/2 + \sin x, g(x) = (|x+3| - |x-3|)/2 + \cos x$，求下列方程组的数值解。

$$\begin{cases} 2x_1 = 3f(y_1) + 4g(y_2) - 1 \\ 3x_2 = 2f(y_1) + 6g(y_2) - 2 \\ y_1 = f(x_1) + 3g(x_2) - 3 \\ 5y_2 = 4f(x_1) + 6g(x_2) - 1 \end{cases}$$

要求使用Python进行求解。

答案及解析：

（1）根据python的编程习惯，定义一个数组变量 $z$ 用来表示 $x_1, x_2, y_1, y_2$，其形式为 $z = [x_1, x_2, y_1, y_2]$。

（2）将方程组转换为齐次方程组：

$$\begin{cases} 3f(z_2) + 4g(z_3) - 1 - 2z_0 = 0 \\ 2f(z_2) + 6g(z_3) - 2 - 3z_1 = 0 \\ f(z_0) + 3g(z_1) - 3 - z_2 = 0 \\ 4f(z_0) + 6g(z_1) - 1 - 5z_3 = 0 \end{cases}$$

（3）使用Python编程求解可得：

$x_1 = -0.8588, x_2 = -0.3022, y_1 = -0.8451, y_2 = 0.0156$

from scipy.optimize import fsolve
import numpy as np

f = lambda x: (abs(x+1) - abs(x-1))/2 + np.sin(x)
g = lambda x: (abs(x+3) - abs(x-3))/2 + np.cos(x)
equs = lambda z:[3*f(z[2]) + 4*g(z[3]) - 1 - 2*z[0],
                2*f(z[2]) + 6*g(z[3]) - 2 - 3*z[1],
                f(z[0]) + 3*g(z[1]) - 3 - z[2],
                4*f(z[0]) + 6*g(z[1]) - 1 -5*z[3]]
solutions = fsolve(equs, np.random.rand(4))
print(np.round(solutions, 4))

[-0.8588 0.3022 -0.8451 0.0156]